数学分析习题集

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    本习题集是北京大学数学系同志合编《数学分析》(共三册)一书的配套教材。习题集的章节与教材的章节对应，两者顺序是一致的。所收习题主要依据北京大学数学系数学分析习题课资料编撰，也吸收了其他课中遇到的数学分析问题以及1983年前的历届研究生考试的部分试题。比曾广泛采用的吉米多维奇《数学分析习题集》增加了m维空间中微积分的相应题目和微分形式的题目。林源渠、方企勤、李正元、廖可人编著的《数学分析习题集(高等学校教材)》可供数学专业类学生数学分析习题课使用。未经我社和编者同意，任何单位和个人不得编写出版本书的习题解答。否则将予以追究。
    本书于1986年出版，恰逢高等教育出版社建社60周年，甲午重印，以飨读者。

 

目录

第一章  预备知识

  归纳法

  绝对值与不等式

  第一章函数

  函数概念

  函数的几种特性

  复合函数与反函数

第二章  极限

  序列极限定义

  序列极限的性质与运算

  确界与单调有界序列

  函数极限

  函数极限概念的推广

  两个重要极限

  无穷小量的阶及无穷大量的阶的比较

  用肯定语气叙述极限不存在

第三章  连续

  连续与间断

  连续函数的运算

  中间值性质

  初等函数的连续性

  最大、最小值

  一致连续性

第四章  导数与微分

  导数概念

  导数的几何意义与极值

  导数的四则运算

  复合函数求导

  反函数与参数表示的函数求导

  微分

  高阶导数与高阶微分

第五章  利用导数研究函数

  罗尔中值定理

  拉格朗日中值定理

  柯西中值定理

  洛必达法则

  皮亚诺余项的泰勒公式

  拉格朗日余项的泰勒公式

  函数的升降与极值

  函数的凹凸与拐点

  函数作图

  方程求根

第六章  不定积分

  原函数与不定积分

  不定积分的线性性质

  第一换元法

  第二换元法

  分部积分法

  有理函数的积分

  三角函数有理式的积分

  无理函数的积分

第七章  定积分

  定积分概念

  微积分基本定理

  可积函数

  定积分性质

  变限定积分

  换元法

  分部积分法

  积分第二中值定理

  近似计算

第八章  定积分应用

  平面图形的面积

  由截平面的面积求体积

  平面曲线的弧长与曲率

  旋转体侧面积

  物理应用

第九章  实数空间

  实数与极限

  确界与区间套

  紧性定理

  完备性定理

  连续函数的性质

  压缩映象原理

  上极限与下极限

第十章  反常积分

  无穷积分的概念

  无穷积分收敛性判别法

  瑕积分的概念

  瑕积分收敛性判别法

第十一章  数值级数

  数值级数的基本概念与性质

  正项级数

  任意项级数

  收敛级数的性质

第十二章  函数项级数

  函数序列及函数级数的一致收敛性

  一致收敛判别法

  一致收敛的函数序列与函数级数的性质

第十三章  幂级数

  幂级数的收敛半径与收敛区间

  幂级数的性质

  初等函数的泰勒级数展开

  斯特林公式

第十四章  傅里叶级数

  基本三角函数系

  周期函数的傅里叶级数

  傅里叶级数的收敛性

  任意区间上的傅里叶级数

  傅里叶级数的平均收敛性

第十五章  欧氏空间与多元函数

  m维欧氏空间

  欧氏空间中的点集

  m维欧氏空间的性质

  多元向量函数

  多元函数的极限

  多元函数的连续性

第十六章  多元数值函数微分学

  偏导数

  全微分与可微性

  复合函数的偏导数与可微性

  方向导数

  高阶偏导数和高阶全微分

  泰勒公式

  由一个方程式确定的隐函数及其微分法

第十七章  多元向量函数微分学

  线性变换

  向量函数的可微性与导数

  反函数及其微分法

  由方程组确定的隐函数及其微分法

  函数相关性

第十八章  多元函数微分学的应用——几何应用与

  极值问题

  曲线的表示法和它的切线

  空间曲面的表示法和它的切平面

  简单极值问题

  条件极值问题

  最小二乘法

第十九章  含参变量的积分

  含参变量的定积分

  含参变量的反常积分

  计算含参变量积分的几个例子

  欧拉积分——B函数与τ函数

第二十章  重积分

  Rm空间图形的若尔当测度

  在Rm上的黎曼积分

  化重积分为累次积分

  重积分的变量替换

  重积分的变量替换(续)

  重积分在力学上的应用

第二十一章  曲线积分

  与曲线有关的一些概念

  第一型曲线积分

  第二型曲线积分

  平面上的第二型曲线积分与格林公式

第二十二章  曲面积分

  曲面概念与曲面面积

  第一型曲面积分

  曲面的侧

  第二型曲面积分

第二十三章  场论

  向量场的通量、散度和高斯公式

  向量场的环量和旋度

  保守场与势函数

第二十四章  微分形式与斯托克斯公式

  微分形式的定义

  外微分

  微分形式的变量替换