高等代数

内容提要

　　本书是普通高等教育“十一五”国家级规划教材“数学类专业数学基础教程”的分册之一。作者根据新世纪数学类专业的要求，针对当前高等院校(特别是一般本科院校)的教学实际，选择合理的教学内容与体系结构，教学定位恰当。内容安排由浅入深，理论体系简捷、直观；强调矩阵初等变换的突出作用；注意化解理论难点，便于学生理解掌握；易教易学，有利于学生数学素质的培养。

　　全书包括矩阵、线性方程组与矩阵初等变换、行列式、向量组的线性相关性、多项式、线性空间、线性变换、λ-矩阵、向量的正交性、二次型共十章，各章配有适量的习题，书末附有习题答案。

　　本书可作为高等学校数学类专业教材，也可供其他理工科教师和学生使用。

 

目录

　　前言

　　第一章　矩阵

　　　§1　数域

　　　§2　矩阵的概念

　　　　一、引例

　　　　二、矩阵的定义

　　　　三、特殊矩阵

　　　　习题一

　　　§3　矩阵的运算

　　　　一、矩阵的线性运算

　　　　二、矩阵的乘法

　　　　三、矩阵的转置

　　　　四、矩阵的逆

　　　　习题二

　　　§4　分块矩阵及其运算

　　　　一、分块矩阵的概念

　　　　二、分块矩阵的运算

　　　　习题三

　　第二章　线性方程组与矩阵初等变换

　　　§1　线性方程组及高斯消元法

　　　　一、引例

　　　　二、线性方程组

　　　　三、高斯消元法

　　　　四、利用矩阵初等行变换解线性方程组

　　　　五、矩阵的初等列变换

　　　　习题一

　　　§2　初等矩阵

　　　　一、初等矩阵的概念

　　　　二、初等矩阵与矩阵初等变换

　　　　三、分块乘法的初等变换及应用举例

　　　　四、逆矩阵定理

　　　　五、利用矩阵初等变换求矩阵的逆

　　　　习题二

　　第三章　行列式

　　　§1　n阶行列式的定义

　　　　一、二阶和三阶行列式

　　　　二、全排列及其奇偶性

　　　　三、n阶行列式的定义

　　　　四、行列式按行(列)展开

　　　　习题一

　　　§2　行列式的性质与计算

　　　　一、行列式的性质

　　　　二、行列式的计算

　　　　习题二

　　　§3　行列式与矩阵的逆

　　　　一、伴随矩阵与矩阵的逆

　　　　二、行列式的乘法定理

　　　　三、克拉默法则

　　　　习题三

　　　§4　矩阵的秩

　　　　一、矩阵的秩的概念

　　　　二、矩阵的秩的计算

　　　　习题四

　　　§5　应用实例

　　第四　向量组的线性相关性

　　　§1　向量与向量空间

　　　　一、三维向量空间

　　　　一、n维向量

　　　　三、向量空间及其子空间

　　　　习题一

　　　§2　向量组的线性相关性

　　　　一、向量组的线性组合

　　　　二、向量组的线性相关性

　　　　习题二

　　　§3　向量组的秩

　　　　一、向量组的秩与极大无关组

　　　　二、向量组的极大无关组的性质

　　　　三、向量空间的基、维数与向量的坐标

　　　　习题三

　　　§4　线性方程组解的结构

　　　　一、齐次线性方程组解的结构

　　　　二、非齐次线性方程组解的结构

　　　　习题四

　　第五章　多项式

　　　§1　一元多项式

　　　　一、一元多项式及其运算

　　　　二、一元多项式的次数

　　　　习题一

　　　§2　整除的概念

　　　　一、整除的定义

　　　　二、最大公因式

　　　　习题二

　　　§3　因式分解定理

　　　　一、因式分解定理

　　　　二、重因式

　　　　三、多项式函数与余数定理

　　　　习题三

　　　§4　多项式的因式分解

　　　　一、复数域上与实数域上多项式的因式分解

　　　　二、有理数域上多项式的因式分解

　　　　习题四

　　　§5　多元多项式

　　　　一、多元多项式

　　　　二、对称多项式

　　　　习题五

　　第六章　线性空间

　　　§1　线性空间

　　　　一、线性空间的定义

　　　　二、线性空间的简单性质

　　　　习题一

　　　§2　维数、基与坐标

　　　　一、维数、基与坐标的定义

　　　　二、基变换与坐标变换

　　　　习题二

　　　§3　线性子空间

　　　　一、线性子空间的定义

　　　　二、线性子空间的交与和

　　　　三、线性子空间的直和

　　　　习题三

　　　§4　集合的映射

　　　　习题四

　　　§5　线性空间的同构

　　　　习题五

　　第七章　线性变换

　　　§1　线性变换

　　　　一、线性变换的定义

　　　　二、线性变换的运算

　　　　三、线性变换的矩阵

　　　　习题一

　　　§2　特征值与特征向量

　　　　一、特征值与特征向量的定义

　　　　二、特征值与特征向量的计算

　　　　三、特征多项式的性质

　　　　习题二

　　　§3　不变子空间

　　　　一、线性变换的值域与核

　　　　二、不变子空间

　　　　习题三

　　　§4　相似矩阵

　　　　一、相似矩阵的性质

　　　　二、矩阵的相似对角化

　　　　三、若尔当标准形介绍

　　　　习题四

　　　§5　最小多项式

　　　　习题五

　　第八章　λ-矩阵

　　　§1　λ-矩阵

　　　　一、λ-矩阵

　　　　二、λ-矩阵的初等变换与行列式因子

　　　　习题一

　　　§2　λ-矩阵在初等变换下的标准形

　　　　一、λ-矩阵的标准形

　　　　二、λ-矩阵的不变因子

　　　　习题二

　　　§3　矩阵相似的条件

　　　　一、矩阵相似的条件

　　　　二、初等因子

　　　　习题三

　　　§4　若尔当标准形的计算

　　　　习题四

　　第九章　向量的正交性

　　　§1　向量空间的内积

　　　　一、引例(三维几何空间中向量的内积)

　　　　二、向量的内积及其性质

　　　　三、向量的正交性

　　　　四、施密特正交化过程

　　　　五、正交矩阵

　　　　六、正交变换

　　　　习题一

　　　§2　实对称矩阵的对角化

　　　　一、子空间的正交关系

　　　　二、对称变换

　　　　三、实对称矩阵的特征值与特征向量

　　　　四、实对称矩阵的对角化

　　　　习题二

　　第十章　二次型

　　　§1　二次型

　　　　一、二次型的概念

　　　　二、二次型的矩阵表示

　　　　习题一

　　　§2　二次型的标准形

　　　　一、二次型的标准形

　　　　二、用正交变换化二次型为标准形

　　　　三、用拉格朗日配方法化二次型为标准形

　　　　四、用合同线性变换法化二次型为标准形

　　　　五、二次曲面的化简

　　　　习题二

　　　§3　正定二次型

　　　　一、正定二次型的概念

　　　　二、正定二次型的判定

　　　　习题三

　　习题答案

　　参考文献